축구장 25명 중 생일이 같은 사람 있을 확률은?

 

축구장에 양팀 선수 22명, 주심 1명, 선심 2명, 모두 25명이 있다. 이 중에서 생일이 같은 사람이 있을 확률은 얼마일까. 놀라지 마시라, 57%나 된다. 1년이 3백65일인 점을 감안할 때 3백66명은 모여야 되지 않을까 생각하기 쉽지만 그렇지 않다.

이 경우 2명의 생일이 같거나 3명 이상의 생일이 일치해도 되며, 생일이 같은 쌍이 여럿 나올 수도 있어 상당히 복잡하다. 이럴 때는 반대로 생일이 모두 다른 경우를 고려하면 훨씬 간편하다. 한 사람이 다른 사람과 생일이 다를 확률은 364/365다. 그 다음 사람의 생일이 앞의 두 사람과 다를 확률은 363/365이다. 이런 식으로 하면 25명의 생일이 모두 다를 확률은 364/365×363/365×…×341/365을 계산한 약 0.43이다. 따라서 25명 중 생일이 같은 사람이 있을 확률은 1에서 0.43을 뺀 0.57이 된다.

확률과 관련해 1990년대 초 미국에서 논란을 불러일으킨 문제 중 '몬티 홀 딜레마'가 있다. 한 TV프로그램에서 세개의 문이 있고, 한개의 문 뒤에는 승용차가, 나머지 두개의 문 뒤에는 염소가 있었다. 출연자가 승용차가 있는 문을 선택하면 차를 받을 수 있지만, 염소가 있는 문을 고르면 '꽝'이다. A.B.C 세개의 문 중에서 출연자가 A를 선택했을 때, B와 C 중 적어도 하나의 문 뒤에는 염소가 있다. 염소와 승용차가 어디 있는지 미리 알고 있는 진행자는 염소가 있는 문을 열어 출연자에게 보여주고, 선택을 고수할 것인지 아니면 문을 바꿀 것인지 물어본다. 이 때 어느 쪽이 더 유리할까.

얼핏 보면 나머지 두개의 문 중 하나에 차가 있으니 두가지 경우 모두 확률이 2분의1일 것 같다. 그러나 잘 따져보면 원래의 문에 차가 있을 확률은 3분의1이고, 바꾼 문 뒤에 차가 있을 확률은 3분의2로 높아진다.

확률은 '불확실성'을 다루는 분야라, 직관에 기초한 예측과 실제 확률 사이의 괴리가 있는 경우가 많다. 이는 확률에 대한 매력을 높이는 요인이 되기도 하고, 확률을 도통 이해할 수 없는 생소한 분야로 만들기도 한다.

출처 http://www.uning.co.kr/bbs/bbs/read.php?table=03_pds&id=2551&page=8&m=&action=&searchkey=&sm=