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이들은 왜 이런일이 벌어지는지도 모르지만, 점점 내막이 밝혀져 가지만, 방은 점점 좁아져서 압사 당하기 직전까지 가는데....
제목과 간단한 소개만을 보고서 페르마의 마지막 정리에 대한 이야기인줄 알았는데, 개인적인 원한과 골드바흐 가설(추측) 증명때문에 생긴 밀실속의 생존게임...
뭐 익히 많이 봐오던 영화에서 보던 패턴들과 상당히 유사한 스토리의 영화에 수학적인 퀴즈를 가미한 방식인데, 재미있는 퀴즈들이 많이 나온다.. 하지만 수학가들이 자기들끼리 말하고, 풀어버려서 책이라면 모르겠지만, 영화로 보는 재미는 좀 반감이 되는듯 하다.
뭐 그럭저럭 볼만한듯 하면서도, 뭐 영화가 끝나고 나면 좀 허무한 느낌이 들기도 한 영화인듯...
감독 로드리고 소페나 , 루이스 피에드라이타
출연 루이스 호마르 , 알레조 사우라스 , 엘레나 발레스터로스 , 샌티 밀란 , 페데리코 루피
상영시간 88분
관람등급 미정
장르 미스터리 , 스릴러
제작국가 스페인
제작년도 2007년
4명의 수학자가 페르마라는 별명의 낯선 이에게 초대된다. 그러나 그들을 맞이한 건 1분 이내 수수께끼를 풀지 못하면 사방이 오그라드는 밀실이다. 유일한 탈출구는 압사당하기 전에 주어진 수수께끼를 푸는 것뿐인데... 고도의 두뇌 게임 스릴러가 시작된다.
페르마의 마지막 정리란 무엇인가요? 무엇이 마지막이라는 것인가요?
n 이 2 보다 큰 자연수일 때, 방정식이것이 페르마의 마지막 정리(Fermat's last theorem) 의 내용입니다. 페르마(Pierre de Fermat) 는 자기가 발견한 것들을 발표하지 않고 다른 사람과 주고 받은 편지에 쓰거나, 책의 여백에 적어 놓곤 했습니다. 페르마가 죽은 뒤 그의 아들이 부친의 업적을 정리해 발표했는데 이 내용은 디오판토스(Diophantos) 의 책 '산술(Arithmetica)' 의 여백에 적혀 있었다고 합니다. 페르마는 이 내용을 1630년 경에 썼다고 알려져 있습니다. 이 정리 옆에는 또 "나는 정말 놀라운 증명 방법을 발견했다. 하지만 이 여백이 좁아서 증명을 쓸 수가 없다." 라고 적혀 있었습니다. 페르마가 이런 식으로 써 놓은 다른 것들은 모두 옳다는 것이 밝혀졌지만 이 "정리" 만은 오래도록 증명되지 못했습니다. 그래서 이것이 "페르마의 마지막 정리(Fermat's last theorem)" 라고 불리게 된 것입니다.
xn + yn = zn
을 만족하는 양의 정수 x, y, z 는 존재하지 않는다.
페르마의 마지막 정리가 무엇 때문에 중요한가요?
1984년까지, 페르마의 마지막 정리는 증명된다고 해도 별 쓸모가 없는 순전히 호기심을 불러일으키는 문제일 뿐이었습니다. 그러나 1984년, 이 문제가 타원함수에 대한 어떤 문제와 관계가 있다는 것이 밝혀졌습니다. 그런데 그 문제는 엄청나게 많은 다른 문제들을 풀 수 있는 출발점이었던 것입니다. 페르마의 마지막 정리를 증명하는 것은 곧 20세기 수학에 한 획을 긋는 역사적인 일이었던 것입니다.
그렇게 많은 수학자가 오랫동안 증명하지 못했다면, 정말 페르마가 증명을 발견했던 것일까요?
아마 그러지 못했을 것입니다. 페르마 자신도 "놀라운 증명 방법" 에 오류가 있다는 것을 나중에 깨달았던 것 같습니다. 왜냐하면 다른 모든 발견에 대해서는 다른 사람들과 주고 받은 편지에 '이 문제를 풀어 보라' 는 식으로 써 놓았기 때문입니다. 그런데 이 문제에 대해서는 n 이 3 또는 4 일 때에 대해서만 언급이 있을 뿐 (이 경우에 대해서는 확실히 증명 방법을 알고 있었던 것 같습니다.) 일반적인 n 에 대한 정리는 다시는 언급되지 않았습니다.
무엇 때문에 그렇게도 증명하기 어려운가요?
원래부터 어렵다기보다는 사람들이 그것을 증명하기 위한 방법을 못 찾았다고 해야 할 것입니다. 지금도, 오래 전부터 사람들이 시도했지만 풀리지 않은 문제가 많이 있습니다. 간략하게 이 페르마의 마지막 정리에 대해 사람들이 어떤 노력을 해서 어떤 발전이 있었는지 알아 보겠습니다. 페르마 자신은 '직각삼각형의 넓이는 제곱수가 될 수 없다" 즉, x, y, z 가 정수일 때 x2 + y2 = z2 이면, xy/2 는 제곱수가 될 수 없다는 것을 증명했습니다. (페르마가 남긴 글 중 증명이라고는 이것 하나 뿐입니다.) 이것을 사용하면 n 이 4 일 경우는 증명이 됩니다. 그러고 나면, n 이 홀수인 소수일 경우만을 증명하면 된다는 것이 밝혀집니다. 1753년, 오일러(Leonhard Euler)는 자신이 페르마의 마지막 정리를 증명했다고 주장했으나 그 증명에는 오류가 있었습니다. 제르맹(Sophie Germain) 은 페르마의 마지막 정리를 두 경우, 즉
(1) x, y, z 중 어느 것도 n 의 배수가 아닐 때
(2) x, y, z 중 하나만이 n 의 배수일 때
로 나눌 수 있다는 것을 밝히고 100 이하의 n 에 대해 경우 (1)을 증명했습니다. 르장드르(Legendre) 는 제르맹의 방법을 확장하여 197 이하의 n 에 대해 경우 (1)을 증명했습니다.
1825년, 디리클레(Dirichlet) 가 n=5 에 대해 경우 (2)를 증명함으로써 n=5 인 경우의 페르마의 마지막 정리를 증명했습니다.
1832년, 디리클레가 n=14 인 경우의 페르마의 마지막 정리를 증명했습니다. 물론, 이것은 n=7 인 경우를 증명하면 자연히 증명되지만, n=7 인 경우는 증명하지 못했던 것입니다.
1839년, 라메(Lamé)가 n=7 인 경우를 증명했습니다. 그 증명은 너무나 복잡해서 무슨 새로운 접근을 하지 않는 한 더 큰 n 에 대해 증명하는 것은 불가능할 것으로 보였습니다.
1847년, 라메는 페르마의 마지막 정리를 증명했다고 파리 아카데미에 밝혔습니다. 그러나 쿠머(Kummer) 에 의해 37, 59, 67 등의 특수한 경우에는 그 증명을 적용할 수 없다는 것이 밝혀졌습니다. 그 뒤, 쿠머, 미리마노프(Mirimanoff), 비퍼리히(Wieferich), 푸르트뱅글러(Furtwängler), 판디버(Vandiver) 등이 이 특수한 경우들을 하나씩 증명해 냈습니다. 그러나 1915년 옌센(Jensen) 에 의해 이런 특수한 경우들은 무한히 존재한다는 것이 밝혀졌습니다. 그래도 쿠머가 사용했던 방법은 이후 계속 적용되었고, 컴퓨터의 도움을 받아 1993년까지 n 이 40000 이하인 경우는 페르마의 마지막 정리가 참이라는 것이 밝혀졌습니다.
1983년, 폴팅즈(Gerd Faltings) 는, n>2 일 때 xn + yn = zn 인 정수는 많아 봐야 유한개라는, 크게 발전된 결과를 내놓았습니다. 그러나 그 "유한개" 라는 것이 모든 n 에 대해 0 이 된다는 결과는 아무래도 나올 것 같지 않았습니다.
마침내, 프린스턴 대학의 와일즈(Andrew Wiles)가 1993년 6월 21일, 22일, 23일에 영국 아이잭 뉴턴 연구소에서 강의하면서 시무라-다니야마-베이유의 추측의 일부를 증명하고, 그것을 적용하여 페르마의 마지막 정리를 증명했습니다. 그러나 12월 4일, 와일즈는 증명에 문제가 있다며 발표를 철회했고, 이듬해인 1994년 Richard Taylor 와 함께 그 문제를 해결하려고 시도했습니다. 그리고 1994년 10월 6일, 와일즈는 세 명의 다른 수학자에게 전해의 증명보다 더 간단해진 새로운 증명을 보내 왔고, 페르마의 마지막 정리는 증명되었습니다.
와일즈는 어떤 방법으로 페르마의 마지막 정리를 증명했나요?
1955년, 다니야마(Yutaka Taniyama) 는 타원함수, 즉 y2 = x3 + ax + b 꼴의 함수에 대해 어떤 문제를 제기했습니다. 시무라(Shimura) 와 베이유(Weil) 는 이 문제를 더 연구하여 하나의 "추측" 을 제기했고 그것은 시무라-다니야마-베이유의 추측이라고 불립니다. 그런데 1984년, 프라이(Gerhard Frey) 는 페르마의 마지막 정리와 시무라-다니야마-베이유의 추측이 서로 관계가 있음을 밝혔고, 1986년에는 리벳(Ken Ribet) 에 의해, 페르마의 마지막 정리에 반례가 있다면 시무라-다니야마-베이유의 추측에도 반례가 생긴다는 것이 증명되었습니다. 즉, 시무라-다니야마-베이유의 추측만 증명하면, 페르마의 마지막 정리가 증명되는 것입니다. 이것으로 페르마의 마지막 정리는 단순히 호기심을 불러일으키는 문제에서, 공간의 기본적인 성질에 관계된 문제로 탈바꿈했습니다. 와일즈(Andrew Wiles) 가 한 일은, 시무라-다니야마-베이유의 추측을, 어떤 일부의 경우에 대해서 증명한 것입니다. 그것으로 페르마의 마지막 정리를 증명하는 데는 충분했던 것입니다.
페르마의 마지막 정리에 상금이 걸려있었다는데...
1908년, 파울 볼프스켄(Paul Wolfsken) 의 유지에 따라 괴팅엔 왕립과학원은 2007년 9월 13일을 기한으로 페르마의 마지막 정리를 증명하는 사람에게 10만 마르크의 상금을 걸었습니다. 이것은 페르마의 마지막 정리에 수많은 사람이 달려들어 잘못된 증명을 쏟아내게하는 한편, 대중에게 이 문제를 널리 알리는 계기가 되었습니다. 1997년 6월 27일, 와일즈는 이 상금을 받았습니다.
출처 - http://www.mathlove.org/pds/materials/episodes/fermat.htm
골드바흐의 추측이란?
수학 분야에서, 골트바흐의 추측(Goldbach's conjecture)은 오래전부터 알려진 정수론의 미해결 문제로, 그 내용은 다음과 같다.
2보다 큰 모든 짝수는 두 개의 소수(素數)의 합으로 표시할 수 있다.
하나의 소수(素數)를 두 번 사용하는 것을 허용한다.
예를 들어, 20까지의 짝수는
4 = 2+2
6 = 3+3
8 = 3+5
10 = 3+7 = 5+5
12 = 5+7
14 = 3+11 = 7+7
16 = 3+13 = 5+11
18 = 5+13 = 7+11
20 = 3+17 = 7+13
위와 같이, 두 개의 소수(素數)의 합으로 표현할 수 있다. 이 예상은 1018까지의 수까지는 컴퓨터를 사용하여 옳다는 것이 밝혀졌다.
이런 내용을 르네 데카르트는 알고 있었다고 한다. 그런데 골트바흐라는 이름으로 불린 계기는, 위 추측과 같은 추측을 골트바흐가 레온하르트 오일러에게 보낸 편지(1742년)가 있기 때문이다
5보다 큰 모든의 자연수는 3개의 소수(素數)의 합으로 표시된다.
페르마의 밀실에 나온 퀴즈
1. 과자가게주인이 불투명상자 3개를 받았는데
하나에는 "박하사탕", 하나에는 "아니스사탕", 나머지 하나에는 "박하사탕과 아니스사탕"이 섞여있다.
각상자에는 박하사탕, 아니스사탕, 혼합이라고 라벨이 붙어있다.
과자가게주인은 라벨이 모두 잘못 붙여져 있다고 한다.
상자속 내용물을 확인하기 위해서 최소한 몇번 사탕을 확인해 봐야 하는가?
2. 화면에 코드가 다 안보여서 보이는 곳까지만 적을께요.
다음 코드를 해독하싶시오.
00000000000000011111111100011
11111111100111111111110011000
10001100110001000110011111011
3. 밀폐된 방 안에 전등이 하나있다.
방 밖에는 3개의 스위치가 있다.
스위치 셋중에 하나만이 전등을 켤 수 있다.
문이 닫혀있는 동안에는 스위치를 마음대로 누를 수 있지만,
문을 열었을 때는 스위치 셋중에 어느것이 전등을 켜는가 말을 해야한다.
4. 9분의 시간을 재야할 때 4분과 7분의 모래시계로 재는 방법은 무엇인가?
5. 한 학생이 선생님께 물었다.
따님 세분의 나이가 몇살인가요?
선생님이 대답하길
"곱하기를 하면 36이고, 더하기를 하면 너희 집 주소다."
설명이 빠졌다고 학생이 되묻자 선생님은
"그렇구나, 제일 큰 아이는 피아노를 친다"고 대답했다.
딸 세명의 나이는 몇살인가?
6. 거짓의 나라에선 사람들이 다 거짓말을 하고, 진실의 나라에선 사람들이 다 진실을 말한다.
한 외국인이 문이 둘 있는 방에 갖혔다.
문 하나는 자유로 가는 길이고, 다른문은 아니다.
한 문은 거짓나라의 간수가 다른 한 문은 진실나라의 간수가 지키고있다.
자유로 가는 문을 찾기 위해서는 각각의 간수에게 한번씩 질문을 할 수 있다.
하지만 외국인은 누가 거짓나라고 누가 진실나라인지 모른다.
어떤 질문을 해야하는가?
7. 어머니는 아들보다 21살 연장자다. 6년안에 아들은 어머니보다 5배 연하가 된다.
아버지는 무엇을 하는가?
8.힐버트가 수수께끼를 낸다.
"어느 양치기가 배를 타고 강을 건너는데, 양 한 마리, 늑대 한 마리, 양배추 한 개가 있었네.
딱 둘만 배에 태울 수 있었는데, 예를 들면 양치기와 양, 양치기와 양배추 이렇게.
양치기가 강을 어떻게 건넜을지 맞춰 보게나.
늑대가 양을 먹거나 양이 양배추를 먹는다는 제외하고서.."
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